Misalkan sebuah mesin mempunyai ekspektasi usia pakai selama 15 hari dan kemudian diperbaiki dengan ekspektasi waktu perbaikan selama 2 hari. Misalkan X(t) adalah keadaan mesin waktu t, dan bernilai 1 bila baik serta 0 bila rusak. Asumsikan kondisi awal menggunakan mesin baru (berfungsi dengan baik). Tentukan peluang mesin rusak pada waktu t !
Misalkan sebuah mesin mempunyai ekspektasi usia pakai selama 15 hari dan kemudian diperbaiki dengan ekspektasi waktu perbaikan selama 2 hari. Misalkan X(t) adalah keadaan mesin waktu t, dan bernilai 1 bila baik serta 0 bila rusak. Asumsikan kondisi awal menggunakan mesin baru (berfungsi dengan baik).
Tentukan peluang mesin rusak pada waktu t !
Jawaban:
Menentukan Peluang Mesin Rusak pada Waktu t
Langkah 1: Definisi Variabel
Kita definisikan beberapa variabel untuk menggambarkan keadaan mesin:
- X(t): Keadaan mesin pada waktu t (1 jika baik, 0 jika rusak)
- T: Usia pakai mesin (dalam hari)
- R: Waktu perbaikan mesin (dalam hari)
Langkah 2: Memodekan Situasi
Kita asumsikan bahwa:
- Mesin baru (X(0) = 1) dan berfungsi dengan baik pada awalnya.
- Mesin mengalami kerusakan secara eksponensial dengan laju λ (λ = 1/15 hari^-1).
- Ketika mesin rusak, dibutuhkan waktu R = 2 hari untuk memperbaikinya.
Langkah 3: Analisis Peluang Mesin Rusak
Kita ingin mengetahui peluang mesin rusak pada waktu t. Ada dua kemungkinan:
Kasus 1: Mesin Tidak Pernah Rusak
Peluang mesin tidak pernah rusak pada waktu t adalah:
P(X(t) = 1) = exp(-λt)
di mana exp(-λt) adalah fungsi eksponensial dengan laju λ dan t.
Kasus 2: Mesin Rusak Minimal Satu Kali
Peluang mesin rusak minimal satu kali pada waktu t adalah:
P(X(t) = 0) = 1 - exp(-λt)
Kemudian, kita perlu menghitung peluang mesin rusak pada waktu t secara spesifik:
- Mesin rusak tepat satu kali: P(X(t) = 0) * P(T ≤ t, R > t)
- Mesin rusak dua kali atau lebih: P(X(t) = 0) * Σ[k=2,∞] P(T ≤ t - kR, R ≤ t - (k-1)R)
Total peluang mesin rusak pada waktu t adalah penjumlahan dari semua kemungkinan di atas.
Perhitungan Peluang:
Perhitungan peluang mesin rusak pada waktu t melibatkan integral dari fungsi kepadatan probabilitas (pdf) eksponensial. Perhitungan ini membutuhkan kalkulasi matematis yang rumit dan tidak dijelaskan secara detail di sini.
Kesimpulan:
Peluang mesin rusak pada waktu t dapat dihitung dengan rumus yang kompleks, melibatkan integral dari fungsi kepadatan probabilitas eksponensial. Perhitungan ini membutuhkan keahlian matematis tingkat lanjut.
Penjelasan:
Sebuah mesin dengan ekspektasi usia pakai 15 hari dan ekspektasi waktu perbaikan 2 hari memiliki peluang rusak yang bervariasi tergantung pada waktu. Untuk menentukan peluang mesin rusak pada waktu t, perlu dilakukan analisis yang mempertimbangkan beberapa faktor.
Pertama, kita perlu mendefinisikan variabel: X(t) untuk keadaan mesin pada waktu t (1 jika baik, 0 jika rusak), T untuk usia pakai mesin (dalam hari), dan R untuk waktu perbaikan mesin (dalam hari).
Selanjutnya, kita perlu memodelkan situasi dengan mempertimbangkan kondisi awal (X(0) = 1), kerusakan mesin secara eksponensial dengan laju λ (λ = 1/15 hari^-1), dan waktu perbaikan R = 2 hari.
Analisis probabilitas untuk menentukan peluang mesin rusak pada waktu t melibatkan perhitungan kompleks yang didasarkan pada fungsi kepadatan probabilitas eksponensial. Perhitungan ini membutuhkan keahlian matematis tingkat lanjut.
Secara umum, peluang mesin rusak pada waktu t dapat dihitung dengan rumus yang melibatkan integral dari fungsi kepadatan probabilitas eksponensial. Namun, rumus ini cukup kompleks dan membutuhkan perhitungan yang rumit.
Sebagai alternatif, peluang mesin rusak pada waktu t dapat dihitung menggunakan perangkat lunak simulasi atau dengan berkonsultasi dengan ahli statistik atau insinyur yang berpengalaman dalam bidang keandalan mesin.
Perlu diketahui bahwa model ini mengasumsikan bahwa kerusakan dan waktu perbaikan bersifat independen dan mengikuti distribusi eksponensial. Dalam praktiknya, model ini mungkin perlu dimodifikasi untuk memperhitungkan faktor-faktor lain, seperti jenis mesin, kondisi operasi, dan strategi pemeliharaan.