Optimalisasi Produksi Cat: Mencari Titik Keuntungan Maksimal dengan Metode Grafik

Jelaskan cara mencari titik optimal dengan cara menggambarkan fungsi tujuan! Bila diketahui berikut ini.

Perusahaan cat Warna Indah memiliki sebuah pabrik kecil yang memproduksi cat interior dan eksterior.

Dalam proses produksi, perusahaan ini membutuhkan dua jenis bahan baku utama, yaitu bahan A dan bahan B.

Ketersediaan bahan A dibatasi hingga 7 ton per hari, sedangkan bahan B tersedia maksimal 9 ton per hari.

Untuk memproduksi 1 unit cat eksterior, diperlukan 1 ton bahan A dan 3 ton bahan B.

Sementara itu, untuk memproduksi 1 unit cat interior, dibutuhkan 2 ton bahan A dan 1 ton bahan B.

Perusahaan menjual cat eksterior dengan harga Rp3.800 per unit dan cat interior dengan harga Rp2.400 per unit.

Manajemen ingin menentukan jumlah produksi optimal dari kedua jenis cat agar dapat memaksimalkan pendapatan tanpa melebihi batasan bahan baku yang tersedia.

Pertanyaan diatas adalah soal mata kuliah Riset Operasi.

Pemberian soal riset operasi seperti ini memiliki beberapa dasar yang kuat dalam konteks pembelajaran mahasiswa.

Pertama, soal ini bertujuan untuk memperkenalkan mahasiswa pada pemodelan matematis masalah dunia nyata.

Mahasiswa dilatih untuk mengidentifikasi variabel keputusan, merumuskan fungsi tujuan, dan menetapkan kendala-kendala dari skenario bisnis yang diberikan.

Ini membantu mereka memahami bagaimana situasi kompleks dapat disederhanakan menjadi bentuk yang dapat dianalisis secara sistematis, sebuah keterampilan fundamental dalam riset operasi.

Tujuan utama dari soal ini adalah untuk melatih mahasiswa dalam penerapan metode grafik untuk optimasi.

Meskipun riset operasi memiliki banyak teknik yang lebih kompleks, metode grafik menjadi fondasi awal yang penting.

Mahasiswa belajar secara visual bagaimana kendala membatasi ruang solusi dan bagaimana daerah layak terbentuk.

Mereka juga dilatih untuk menemukan titik-titik ekstrim dari daerah layak, yang secara matematis terbukti menjadi lokasi dari solusi optimal.

Ini mengembangkan pemahaman intuitif mereka tentang konsep optimasi sebelum beralih ke metode yang lebih abstrak.

Harapan dari pemberian soal semacam ini bagi mahasiswa mencakup beberapa aspek.

Mahasiswa diharapkan dapat mengembangkan kemampuan analisis dan pemecahan masalah mereka.

Dengan mengurai masalah menjadi komponen-komponen yang lebih kecil dan menerapkan logika matematika, mereka belajar berpikir secara terstruktur.

Selain itu, soal ini juga bertujuan untuk meningkatkan keterampilan interpretasi hasil.

Setelah menemukan titik optimal, mahasiswa harus mampu menjelaskan apa artinya dalam konteks bisnis yang diberikan, seperti berapa banyak produk yang harus diproduksi untuk memaksimalkan pendapatan.

Ini menjembatani teori dengan praktik, mempersiapkan mereka untuk menghadapi tantangan serupa di lingkungan profesional.

Berikut adalah referensi kunci jawabannya.

Untuk menemukan titik optimal dengan metode grafik, kita akan memulai dengan merumuskan masalah ini ke dalam bentuk matematis.

Pertama, kita perlu mendefinisikan variabel keputusan. Misalkan X adalah jumlah unit cat eksterior yang diproduksi dan Y adalah jumlah unit cat interior yang diproduksi.

Tujuan perusahaan adalah memaksimalkan pendapatan.

Dengan harga jual cat eksterior Rp3.800 per unit dan cat interior Rp2.400 per unit, fungsi tujuan kita adalah Maksimalkan Z=3800X+2400Y.

Selanjutnya, kita harus merumuskan kendala-kendala berdasarkan ketersediaan bahan baku.

Untuk bahan A, setiap unit cat eksterior membutuhkan 1 ton dan setiap unit cat interior membutuhkan 2 ton.

Ketersediaan bahan A dibatasi hingga 7 ton per hari, sehingga kendala pertama adalah 1X+2Y≤7.

Untuk bahan B, setiap unit cat eksterior membutuhkan 3 ton dan setiap unit cat interior membutuhkan 1 ton.

Ketersediaan bahan B dibatasi hingga 9 ton per hari, sehingga kendala kedua adalah 3X+1Y≤9.

Selain itu, jumlah produksi tidak mungkin negatif, jadi kita juga memiliki kendala non-negatif: X≥0 dan Y≥0.

Langkah berikutnya adalah menggambar grafik dari sistem pertidaksamaan ini.

Untuk setiap kendala, kita akan mengubahnya menjadi persamaan dan mencari titik potongnya dengan sumbu X dan Y.

Untuk kendala 1X+2Y=7:

Jika X=0, maka 2Y=7, sehingga Y=3.5. Titik potongnya adalah (0,3.5). Jika Y=0, maka 1X=7, sehingga X=7. Titik potongnya adalah (7,0).

Untuk kendala 3X+1Y=9:

Jika X=0, maka 1Y=9, sehingga Y=9. Titik potongnya adalah (0,9). Jika Y=0, maka 3X=9, sehingga X=3. Titik potongnya adalah (3,0).

Setelah menemukan titik-titik ini, kita dapat menarik garis untuk setiap persamaan pada sistem koordinat.

Daerah yang memenuhi semua kendala (termasuk X≥0 dan Y≥0) akan membentuk daerah layak (feasible region).

Daerah ini merupakan poligon yang berisi semua kombinasi produksi cat eksterior dan interior yang mungkin dilakukan.

Titik optimal pada metode grafik selalu terletak pada salah satu titik sudut (corner points) dari daerah layak.

Oleh karena itu, kita perlu mengidentifikasi semua titik sudut dari poligon tersebut.

Titik-titik sudut yang pasti ada adalah (0,0), yang merepresentasikan tidak ada produksi sama sekali.

Titik sudut lainnya adalah titik potong dari garis kendala dengan sumbu koordinat, yaitu (7,0) dan (0,3.5) dari kendala bahan A, serta (3,0) dan (0,9) dari kendala bahan B.

Namun, kita harus berhati-hati, karena tidak semua titik potong ini merupakan bagian dari daerah layak.

Titik sudut yang relevan adalah (0,0), (3,0), (0,3.5), dan satu titik di mana kedua garis kendala berpotongan.

Untuk menemukan titik potong antara dua garis kendala (1X+2Y=7 dan 3X+1Y=9), kita bisa menggunakan metode substitusi atau eliminasi.

Mari gunakan eliminasi. Kalikan persamaan pertama dengan 3: 3(1X+2Y)=3(7)⇒3X+6Y=21

Kurangkan persamaan kedua (3X+1Y=9) dari persamaan yang baru: (3X+6Y)−(3X+1Y)=21−9 5Y=12 Y=12/5=2.4

Substitusikan nilai Y=2.4 ke salah satu persamaan awal, misalnya 1X+2Y=7: 1X+2(2.4)=7 1X+4.8=7 1X=7−4.8 1X=2.2 X=2.2

Jadi, titik potong antara kedua garis kendala adalah (2.2,2.4).

Setelah mengidentifikasi semua titik sudut daerah layak, yaitu (0,0), (3,0), (0,3.5), dan (2.2,2.4), langkah terakhir adalah mensubstitusikan koordinat setiap titik ini ke dalam fungsi tujuan Z=3800X+2400Y untuk menemukan nilai pendapatan maksimum.

Untuk titik (0,0): Z=3800(0)+2400(0)=0 Untuk titik (3,0): Z=3800(3)+2400(0)=11400 Untuk titik (0,3.5): Z=3800(0)+2400(3.5)=8400 Untuk titik (2.2,2.4): Z=3800(2.2)+2400(2.4)=8360+5760=14120

Dengan membandingkan nilai Z dari setiap titik sudut, kita dapat melihat bahwa pendapatan maksimum terjadi pada titik (2.2,2.4) dengan nilai Z=14120. Jadi, titik optimalnya adalah memproduksi 2.2 unit cat eksterior dan 2.4 unit cat interior untuk mencapai pendapatan maksimum sebesar Rp14.120.

Meskipun dalam praktiknya kita tidak bisa memproduksi bagian dari unit, seperti 2.2 unit atau 2.4 unit, solusi ini memberikan pemahaman tentang kombinasi produksi yang paling efisien berdasarkan kendala yang ada.

Dalam skenario nyata, manajemen mungkin perlu mempertimbangkan pembulatan ke bawah untuk memastikan kendala tidak terlampaui, atau melakukan analisis sensitivitas lebih lanjut jika pembulatan menghasilkan perubahan signifikan dalam pendapatan.